非负整数

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自然数(natural number),是非负整数(0, 1, 2, 3, 4……)。认为自然数不包含的其中一个理由是因为人们在开始学习数字的时候是由“一、二、三...”开始,而不是由“零、一、二、三...”开始, 因为这样是非常不自然的。
自然数通常有两个作用:可以被用来计数(如“有七个苹果”),参阅基数;也可用于排序(如“这是国内第三大城市”),参阅序数
自然数组成的集合是一个可数的,无上界的无穷集合。数学家一般以N来表示它。自然数集上有加法乘法运算,两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。也可以作减法除法,但相减和相除的结果未必都是自然数,所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。
自然数是人们认识的数系中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础,19世纪的数学家建立了关于自然数的两种理论:自然数的序数理论和基数理论,使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义,并且两种理论下的运算是一致的。
在全球范围内,目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。在中国大陆,2000年左右之前的中小学教材一般将0列入自然数之内,或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中,普遍将0列入自然数。111
中文名
非负整数
外文名
nonnegative integer
分 类
奇偶性、因数个数
性 质
运算、带余除法等

定义 编辑

为了给出自然数的严格定义,皮亚诺采用序数理论提出自然数的5条公理,被称为皮亚诺公理。这五条公理用非形式化的方法叙述如下:
  1. 1是自然数;
  2. 每一个确定的自然数n都有一个确定的后继者,记作n+1。n+1也是自然数;
  3. 如果m、n都是自然数,并且m+1 = n+1,那么m = n;
  4. 1不是任何自然数的后继者;
  5. 如果某个集合S具有性质:
  • 1在S中;
  • nS中,则n+1也在S中。
那么S=N。(公理5保证了数学归纳法的正确性,从而被称为归纳法原理)
若将0也视作自然数,则公理中的1要换成0。
第五条是归纳公理,它确保了在自然数集中数学归纳法的成立,也是对自然数集形态的一种限定。因为即使是有限集,也存在环形映射满足第二条(自单射)。而只有自然数集才能满足所有这五条的限定。
戴德金-皮亚诺结构
一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组X,x,f):
  • X是一集合,xX中一元素,fX到自身的映射
  • x不在f值域内。(对应上面"定义"一节的公理4)
  • f为一单射。(对应上面的公理3)
  • AX的子集并满足:
    • x属于A
    • a属于A,则fa)亦属于A
  • A=X
不符合归纳假设的例子 不符合归纳假设的例子
集合论形式的构造
一个标准的构造方法如下:
定义
代表空集
然后对于任何集合a,设
。S(a)称为a的后继,S相当于后继函数。
根据无穷性公理,自然数集存在。考虑所有包含0且在S之下封闭的集合,然后取它们的交集就得到了自然数集。可以验证这些集合是符合皮亚诺公理的。
如此,每个自然数都等同于由所有更小的自然数所组成的集合,即
在此定义下,在集合n内就有n个元素;而若n小于m,则n会是m子集

符号 编辑

数学家们使用 N
来表示所有自然数的集合。为了明确的表示不包含0,正整数集合一般如下表示:
N+N*
Z+
而非负整数集合一般如下表示:
N0
集合论者也通常把包括0的自然数集记作希腊字母的ω(小写的欧米伽),因为第一个无穷序数便是ω。

分类 编辑

奇偶性

可分为奇数偶数
1、奇数:不能被2整除的数叫奇数。
2、偶数:能被2整除的数叫偶数。
也就是说,一个自然数要麽是奇数,要麽就是偶数。
注:0是偶数。

因数个数

可分为质数合数、1和0。
1、质数:只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。也称作素数。
2、合数:除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。
3、1:只有1个因数,就是它自身。它既不是质数也不是合数。
4、0和1一样,既不是质数也不是合数。

性质 编辑

运算

对自然数可以递归定义加法乘法。其中,加法运算“+”定义为:
a + 0 = a;
a + S(x) = S(a+x), 其中,S(x)表示x的后继者。
如果我们将S(0)定义为符号“1”,那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b),即,“+1”运算可求得任意自然数的后继者。
如此,便可得出交换幺半群(N,+),是由1生出的自由幺半群,其中幺元为0。此幺半群服从消去律,可嵌入一内:最小的是整数群。
同理,乘法运算“×”定义为:
a × 0 = 0;
a × S(b) = a × b + a
(N,×)亦是交换幺半群;
×和+符合分配律
自然数的减法除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。

带余除法

对于两个自然数a,b,不一定有自然数c使得
。所以若用乘法的逆来定义除法,这个除法不能成为一个二元运算(即不符合封闭性,即使不允许除以0)。但我们可以用带余除法作为替代。
现设a,b为自然数,
,则有自然数q和r使得a=bq+r且r商,r称为a除以b的余数数对(q,r)是被a,b所唯一决定的。
一个例子是
,也就是
。这里a=62,b=7,q=8,r=6。
带余除法在数论中有不少用途,比如说辗转相除法的基本步骤就是带余除法。

我们说
当且仅当有自然数使得
。当
而a不等于b时,记作a
二元关系
在自然数集上符合:
自反性:若a是自然数,则
反对称性:设a,b是自然数。若
,则a=b;
传递性:设a,b,c都是自然数。若
,则
完全性:对于任意两个自然数a,b,有且只有下列两种关系之一:
(或者等价的三分性:ab)
因为符合以上的四种性质,所以
是一全序
事实上,
是一个良序集,即每个非空子集都有一个最小的自然数。此亦是最小数原理的陈述。
此序也和加法及乘法兼容,即若a,b,c都是自然数且
,则

无限性

自然数集是一个无穷集合,自然数列可以无止境地写下去。
对于无限集合来说,“元素个数”的概念已经不适用,用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少,集合论的创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适用的,现推广到无限集合,即如果两个无限集合之间能建立一个一一对应,我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合,我们不再说它们的元素个数相同,而说这两个集合等势,或者说,这两个集合的基数相同。自然数集的基数是阿列夫零,记作
与有限集对比,无限集有一些特殊的性质,其一是它可能与自身的真子集有一一对应的关系,例如:
0 1 2 3 4 … (自然数集)
? ? ? ? ?
1 3 5 7 9 …(奇数组成的集合)
这就是说,这两个集合有同样多的元素,或者说,它们是等势的。大数学家希尔伯特曾用一个有趣的例子来说明自然数的无限性:如果一个旅馆只有有限个房间,当它的房间都住满了时,再来一个旅客,经理就无法让他入住了。但如果这个旅馆有无数个房间,也都住满了,经理却仍可以安排这位旅客:他把1号房间的旅客换到2号房间,把2号房间的旅客换到3号房间,……如此继续下去,就把1号房间腾出来了。
和自然数集等势的集合有:
自然数集的势严格小於实数集的势,即两者间不能建立一一对应(详见对角论证法)。事实上,实数集的势是
,即自然数集的幂集的势。

自然数列 编辑

数列 1,2,3,4,5,…n,... 称为自然数列(OEIS中的数列A000027)。自然数列不包括0。
自然数列的通项公式an=n。
自然数列的前n项和Sn=n(n+1)/2。 Sn=na1+n(n-1)/2
自然数列本质上是一个等差数列,首项a1=1,公差d=1。

历史 编辑

自然数由数数而起。自然数最初的表示法是用一个符号代表每个物体,
古巴比伦数字 古巴比伦数字
比如||||可以用来代表四个苹果、或者四块石头、或者四头牛。这种表示方法在古巴比伦(约公元前2000年[1] )的记数法中有所体现[2]
其後记数系统的创立,使得人们能以更少的符号去表示大数。巴比伦人便是使用六十进制的,比如数字75,他们便会以“1,15”表示(当然是用他们的符号)[3] 。但如果观察一下他们所使用的1至59的数,就会发现当中也有十进制的影子。[4] 古埃及人也建立了十进制的记数系统,包括个位、十位…直至一百万。
之后进一步的发展是把0视为一个数的想法。由考古成果,我们已知约在公元前700年,巴比伦人就已经使用类近“0”的数字作为占位符,但当0是最后一个数位时,他们会省去不记。[5]
印度学者婆罗摩笈多于公元628年提出零的观念,一般认为是首个接近现代意义上的0。[6] 印度数字后来经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人起初仍对零作为数字感到抗拒,认为零不是一个“自然”数。认为自然数不包含的其中一个理由是因为人们在开始学习数字的时候是由“一、二、三...”开始,而不是由“零、一、二、三...”开始, 因为这样是很不自然的。[7]
在中国古代也有0这个概念,但并没有0这个阿拉伯数字的字样,而是以空位表示。中国古代使用算筹进行计算,在算盘上,以空位表示0。公元1世纪的《九章算术》说:“正负术曰:同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。”[8] (这段话的大意是“减法:遇到同符号数字应相减其数值,遇到异符号数字应相加其数值,零减正数的差是负数,零减负数的差是正数。”)以上文字里的“无入”通常被数学史家认为是零的概念。虽然如此,但是当时并没有使用符号来表示零。

争论 编辑

古希腊人最早研究数字的抽象特性,例如是古希腊哲学家毕达哥拉斯阿基米德的研究。当中毕达哥拉斯学派更把数视为宇宙之基本。[9] 有许多希腊数学家都不把1当成一个数,因而2就成了最小的数。在数学家欧几里得所着的《几何原本》中也有类似说法。[10]
19世纪末,集合论者给予了自然数几个较严谨的定义。据这些定义,把零对应于空集,包括于自然数内更为方便。逻辑论者及电算机科学家,接受集合论者的定义。而其他一些数学家,主要是数论学家,则依从传统把零拒之于自然数之外。
在全球范围内,针对0是否属于自然数的争论依旧存在。
在中国,2000年左右之前的中小学教材一般将0列入自然数之内,或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中,普遍将0列入自然数。
国际标准ISO 31-11:1992《量和单位 第十一部分:物理科学和技术中使用的数学标志与符号》(已被ISO/IEC 80000-2取代[11] )中,从集合论角度规定:符号
所表示的自然数集是包括正整数和0。新修订的ISO/IEC 80000-2也规定:符号N或?所表示的自然数集包括正整数和0。
中国于1993年制定的强制性国家标准《物理科学和技术中使用的数学符号》(GB 3102.11-93)参照国际标准ISO 31-11:1992规定[12]
表示“非负整数集;自然数集”,
={0,1,2,3,...}。而正整数集应上标星号或下标加号,记作
[13]
参考资料
词条标签:
自然学科 科技 理学 数学